Les propriétés fondamentales de l'ensemble des entiers naturels - notamment le principe de récurrence - constituent le point de départ de ce cours où l'auteur développe ensuite l'arithmétique des congruences (ou arithmétique modulaire) et ses applications à la cryptographie. L'étude des corps finis conduit enfin au chapitre consacré aux codes correcteurs d'erreurs.

À l'échelon de la licence, cette arithmétique offre un des rares exemples où les mathématiques trouvent des applications directes dans notre vie quotidienne. En effet, lorsque nous utilisons un micro-ordinateur, lorsque nous écoutons un CD ou regardons un DVD, le transfert des données numériques n'est exploitable qu'avec l'aide des codes correcteurs d'erreurs.

Destiné en priorité aux étudiants préparant la licence de mathématiques (niveau L2), cet ouvrage se suffit à lui-même car toutes les notions de base nécessaires à la compréhension du cours et enseignées en première année sont reprises dans un chapitre de rappels. Par ailleurs, une annexe est réservée à l'exposé des bases de la logique mathématique.

Les résultats importants sont, pour la plupart, situés dans le cadre de leur découverte ; du III^e siècle avant notre ère avec Euclide, jusqu'à Andrew Wiles aujourd'hui - en passant par Fermat, Gauss et tant d'autres - la dimension historique de cette branche des mathématiques n'en apparaît que mieux.

• L'ensemble N des entiers naturels
• Structures algébriques de base
• La division euclidienne dans Z et ses conséquences
• Groupes finis
• Arithmétiques des congruences
• La division euclidienne dans K(X) et ses conséquences
• Corps finis
• Codes correcteurs d'erreurs
• Les règles du jeu
  • Un peu de logique
  • Les ensembles
  • Corrigés des exercices