Cet ouvrage est issu d'un cours élémentaire en Master 1 de l'Université Pierre-et-Marie Curie, cours destiné à initier les étudiants, dès la quatrième année universitaire, aux thèmes et méthodes de l'analyse harmonique non commutative. Partant de connaissances préliminaires réduites à l'algèbre linéaire et au calcul différentiel de base, l'auteur réussit, dans un même texte, le pari d'introduire les groupes et algèbres de Lie, de fournir les outils nécessaires à l'apprentissage de l'analyse que sont la mesure de Haar et l'intégration invariante, mais aussi de traiter de sujets subtils comme la théorie des représentations, les harmoniques sphériques, l'analyse de Fourier et l'équation de la chaleur.

On sait le rôle qu'a joué l'analyse harmonique commutative dans les mathématiques du dix-neuvième siècle et dans la physique classique. C'est à l'analyse harmonique non commutative qu'il est revenu de prendre le relais dans le contexte de la physique moderne, où l'idée de symétrie, incarnée par les groupes de Lie, joue un rôle essentiel. À contexte nouveau, objets nouveaux, mais problématiques traditionnelles - et, bien sûr, d'autres qui le sont moins - : équation de Laplace, fonctions harmoniques, noyau de Poisson, transformation de Fourier, représentations irréductibles, intégrale orbitale. C'est par un choix éclectique de thèmes et dans la convergence des points de vue géométrique, algébrique et infinitésimal que Jacques Faraut offre, dans le présent ouvrage, à un étudiant en Master le loisir de découvrir quelques-uns des plus beaux thèmes et outils de ce territoire mathématique. Ces outils développés élémentairement seront aussi utiles aux spécialistes du calcul stochastique et aux statisticiens.

• Le groupe linéaire
• L'application exponentielle
• Groupes de Lie linéaires
• Algèbres de Lie
• La mesure de Haar
• Représentations des groupes compacts
• Les groupes SU(2) et SO(3)
• Analyse sur le groupe SU(2)
• Analyse sur la sphère et l'espace euclidien
• Analyse sur des espaces de matrices
• Représentation irréductibles de U(n)
• Analyse sur le groupe linéaire