La cryptologie, science des écritures secrètes, peut schématiquement être configurée de manière duale à l'aide du couple : cryptographie - cryptanalyse :

• la cryptographie ayant pour objet la création de procédés techniques de codage les plus sûrs possibles,
• la cryptanalyse, au contraire, cherchant à élaborer des protocoles mathématiques permettant de casser les cryptosystèmes.

La plupart de ces objectifs sont atteints grâce à la subtilité et l'élégance de l'arithmétique modulaire.

Cet ouvrage est issu d'un enseignement en mathématiques Spéciales MP* résultant à la fois d'un approfondissement en algèbre destiné aux candidats des ENS et d'une adaptation des mathématiques disponibles en Spé MP* aux techniques de codage et de décodage numériques.

• Notions préliminaires
• Groupes, anneaux, corps
• Arithmétique modulaire dans Z
• Arithmétique modulaire dans K[X] où K est un corps fini
• Résidus quadratiques - Loi de réciprocité
• Les nombres premiers
• Arithmétique modulaire et cryptologie
• Protocoles de signature et d'identification numériques
• Annexe - Cryptographie et surface de Frobénius