Le cours d'analyse d'une école d'ingénieurs est le socle conceptuel sur lequel reposent les autres enseignements mathématiques, constituant ainsi le cadre de modélisation des sciences de l'ingénieur. La rédaction de ce cours, tant dans son contenu que dans sa structure, est inspirée par le profil et les besoins en mathématiques de l'élève et du futur ingénieur. L'auteur a donc choisi d'exposer un cours d'analyse allégé des concepts et des résultats a faible plus-value pratique, nécessitant en outre un investissement lourd pour l'enseignant et pour l'élève. Tel est le cas par exemple des concepts de mesure complexe ou de topologie définie par des familles de semi-normes qui ne seront pas abordés ici.

Adepte d'une pédagogie constructive et motivante, essayant d'éviter autant que faire se peut la pesante et souvent inefficace linéarité de l'exposé déductif,l'auteur a semé le parcours du néophyte d'appels à l'intuition géométrique ou physique, d'analogies et de remarques qui devraient en faciliter la lente digestion. Seuls sont démontrés les théorèmes importants a condition toutefois que leurs preuves ne soient ni trop techniques ni trop longues dans le cadre défini par les objectifs pédagogiques d'une école d'ingénieurs et sa dure contrainte temporelle (60 h de face à face pédagogique). En revanche certaines preuves accessibles et mettant en oeuvre une idée ou une méthode originale font l'objet d'exercices qui en facilitent la compréhension et donc la mémorisation.

Ce livre est composé de six chapitres : les quatre premiers sont dédiés à l'analyse fonctionnelle et harmonique, les deux autres exposent la théorie des fonctions holomorphes.

Le premier chapitre est un exposé de la théorie ensembliste de la mesure et de l'intégration, qui se conclut par la présentation des concepts-outils fondamentaux pour la modélisation des systèmes linéaires, que sont le produit de convolution et la transformation de Laplace.

Après de nécessaires rappels de topologie métrique suivis d'un exposé rapide des bases de la théorie des espaces vectoriels normés, on présente de façon plus détaillée la théorie des espaces hilbertiens et ses applications à l'approximation fonctionnelle dans les espaces L2.

Le chapitre trois concerne l'analyse et la synthèse harmonique des fonctions réelles séries et transformations de Fourier.

Le chapitre quatre est une introduction a la théorie des distributions, motivée et illustrée par la théorie du signal.

Yves Caumel

Au sommaire

• Introduction
• Théorie de la mesure et de l'intégration
• Mesures et tribus
• Espaces vectoriels normés
• Séries et transformation de Fourier des fonctions
• Distributions
• Fonctions holomorphes, transformations conformes
• Séries entières et de Laurent ; calcul des résidus
• Corrigés des exercices
• A Le corps des complexes
• B Rappels divers
• C Transformées de Fourier et de Laplace
• D Représentation des signaux et leurs propriétés
• Bibliographie commentée