L'analyse fonctionnelle, qui a connu un développement spectaculaire depuis le début du siècle, est devenue un outil indispensable en mathématiques.

Outre son objet premier, qui est l'étude des espaces fonctionnels et de leurs opérateurs, ses applications sont diverses dans beaucoup de branches : équations aux dérivées partielles, analyse complexe, analyse globale, théorie des représentations...

Le but de ce livre, destiné aux étudiants de Licence 3ème année et de Master de Mathématiques, est d'en exposer les éléments de base : mesure et intégration et espaces fonctionnels associés, théorème de l'application ouverte, théorème de Hahn-Banach sous ses versions analytique et géométrique, dualité dans les espaces normés, espace de Hilbert, opérateurs bornés et théorie spectrale illustrée par des applications au problème de Sturm-Liouville.

D'autres thèmes, proposés sous forme d'exercices et de problèmes corrigés, en complètent le contenu.

• Quelques rappels de topologie
• Espaces mesurables
• Espaces mesurés
• Intégrale de Lebesgue
• Mesures produit, mesures images et densités
• Espaces vectoriels topologiques
• Applications linéaires continues
• Dualité dans les espaces normés
• Espaces de Hilbert
• Opérateurs bornés
• Opérateurs dans les espaces de Hilbert
• Application aux équations différentielles

• A. Axiome du choix et lemme de Zorn
• Complément 1. Calcul de volumes
• Complément 2. Intégrale de Riemann