Les mathématiques c'est un peu comme un aérodrome : au départ il y a une petite piste en terre où un avion vient atterrir et décoller de temps en temps, puis davantage d'avions arrivent et partent, la piste s'étend, il y a une aérogare pour accueillir les voyageurs, puis une deuxième piste et ça finit par devenir un endroit gigantesque et grouillant de vie.

Dans son précédent ouvrage, Promenades mathématiques, Frédéric Laroche a décollé de la première piste créée vers 1650, celle de l'Analyse ; la deuxième, celle empruntée ici et ouverte un siècle plus tard, concerne la théorie des fonctions de la variable -complexe ainsi qu'un de ses corollaires, les fonctions elliptiques et leurs applications en physique, en probabilités, en cryptographie... et en arithmétique.

Dans un cadre accessible avec un bagage mathématique allant du baccalauréat à la licence suivant les questions, l'auteur explore les notions de base de l'arithmétique ainsi que de l'algèbre (théorie des nombres algébriques, formes quadratiques) et de l'analyse (fractions continues, fonctions elliptiques, fonctions thêta, formes modulaires). Sont également traitées des applications comme le théorème des nombres premiers, des conjectures comme l'hypothèse de Riemann, la conjecture de Goldbach, le problème du nombre de classes et diverses questions modernes de théorie des nombres, résolues ou non. L'aspect épistémologique n'est pas oublié, l'histoire des idées restant indéfectiblement liée aux progrès des mathématiques modernes.

Quand le lecteur aura embarqué sur ce vol long-courrier, il pourra prendre les commandes de l'appareil grâce aux illustrations, programmes et -algorithmes dont les sources sont disponibles sur le site promenadesmaths.free.fr. Quant à l'atterrissage il n'est pas prévu avant plusieurs milliers d'années, bon -nombre de questions ouvertes, même d'énoncé simple, semblant hors d'atteinte actuellement.

• Brève histoire des débuts de l'arithmétique
• Bachet et Fermat
• Encore Fermat, Euler, Legendre, Gauss
• Dirichlet et les fonctions arithmétiques
• La loi de réciprocité quadratique
• Le théorème de Wilson et ses conséquences
• Fractions continues
• Les suites de Farey
• Fonctions d'une variable complexe
• La fonction gamma
• La fonction zêta
• Le théorème des nombres premiers
• Fonctions elliptiques
• Les fonctions thêta de Jacobi
• Formes modulaires
• Partitio numerorum
• Formes quadratiques