L'utilisation de méthodes d'analyse fonctionnelle pour décrire les systèmes dynamiques génériques doit être complétée par l'introduction de nouveaux outils mathématiques propres à assurer la compréhension des systèmes non génériques. Une nouvelle voie de recherche est ainsi ouverte, appliquant aux systèmes dynamiques analytiques les techniques de la géométrie analytique et de la géométrie algébrique.

Dans cette perspective, ce cours présente aux étudiants de troisième cycle des méthodes de la théorie des singularités et de la géométrie analytique qui sont ensuite appliquées à la résolution de problèmes portant sur les équations différentielles et les systèmes dynamiques.

Il s'adresse également aux étudiants de second cycle qui souhaitent découvrir certains développements récents de ce domaine de recherche inspirés par des sujets classiques de mécanique analytique et de physique mathématique.

Sommaire

1. Généralités sur les systèmes dynamiques
2. Singularité d'une fonction. Singularité résiduelle et conjugaison Nash. Classification simultanée des fonctions et des formes volumes. Forme normale d'un champ de vecteurs. Forme locale d'un difféomorphisme au voisinage d'un point fixe.
3. Les orbites périodiques d'une transformation symplectique au voisinage d'un point fixe elliptique ou d'une Lagrangienne invariante. Perturbation explicite pour rendre les points périodiques élémentaires. Obstructions à l'intégrabilité.
4. Intégrabilité au sens de Liouville, action-angles
5. Exemples de systèmes à orbites toutes périodiques, les systèmes de Calogero-Moser
6. Les orbites périodiques des champs de vecteurs du plan et le 16e problème de Hilbert