Cet ouvrage est une introduction aux concepts qu'utilise la physique classique du continu : les variétés, les champs de vecteurs, les structures riemanniennes, le déplacement parallèle, le calcul intégral lié au calcul variationnel et aux lois de conservation en physique. Henri Poincaré a écrit : "le fait scientifique n'est que le fait brut traduit dans un langage commode". Cette phrase contient toute l'idée du projet de l'écriture de ce livre. Les concepts reconnus par la communauté scientifique, grâce au recul des années, comme les plus pertinents sont les objets de ce langage commode. Ils ne sont pas introduits comme des données premières mais comme résultat d'un processus.

Par exemple, dans le premier chapitre du livre une réflexion sur la notion de référentiel en physique classique aboutit au bout de près de trente pages au concept de variété tel qu'il est universellement admis dans le monde des géomètres. La même démarche aboutit à la construction des espaces fibrés (fibrés vectoriels). La notion de déplacement parallèle évidente dans un espace euclidien reste canonique dans le cas des surfaces plongées dans un espace euclidien de dimension trois. Ainsi en suivant cette démarche initiée par Gauss, on aboutit à la notion générale du déplacement parallèle dans le cadre de la géométrie différentielle.

Bref, chaque notion est introduite par une réflexion en amont soit à partir de la physique, soit à partir de prototypes simples qui imposent des généralisations. Pour finir, la physique reprend ses droits et illustre les théories mathématiques exposées.

• Variété
• Calcul différentiel sur les variétés
• Déplacement parallèle et courbures
• Intégration sur les variétés
• A. Algèbres tensorielle et extérieure