L'ouvrage est, comme son titre l'indique, une introduction à la géométrie différentielle. Le prérequis nécessaire est le calcul différentiel dans les espaces euclidiens.

Sont abordées les principales notions de base de la géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangent et cotangent, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. Cet ensemble de base permet une introduction aux groupes de Lie et une illustration par les éléments de théorie du degré et de cohomologie.

Introduction aux variétés différentielles a pour objectif d'être un ouvrage de base et propose également des exercices très classiques pour l'étudiant et le débutant en la matière, d'autres plus délicats pour l'enseignant, le chercheur ou l'étudiant de niveau plus avancé. Les solutions d'un bon nombre d'entre eux sont données en fin de volume.

Destiné aux étudiants de maîtrise ou de DEA de mathématiques ainsi qu'à ceux qui préparent l'agrégation, cet ouvrage intéresse évidemment leurs enseignants et les professeurs des lycées et des classes préparatoires aux grandes écoles. Les physiciens, eux aussi, sont concernés.

• Calcul différentiel
  • Différentielles
  • Théorème des fonctions composées
  • Théorème d'inversion locale
  • Sous-variétés
  • Application aux sous-groupes du groupe linéaire
  • Points critiques ; valeurs critiques
  • Commentaires Exercices
• Notions de base sur les variétés
  • Cartes, atlas
  • Applications différentiables ; difféomorphismes
  • Le théorème de d'Alembert
  • Les espaces projectifs
  • L'espace ve
  • Dénombrabilité à l'infini
  • Commentaires
  • Exercices
• Du local au global
  • Fonctions plateau ; plongements de variétés
  • Dérivations
  • Image d'un champ de vecteurs ; crochet
  • Le fibre tangent
  • Le flot d'un champ de vecteurs
  • Champs de vecteurs dépendant du temps
  • Variétés de dimension un
  • Commentaires
  • Exercices
• Autour des groupes de Lie
  • Champs invariants à gauche
  • L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie
  • Digression sur les groupes topologiques
  • Groupes de Lie commutatifs
  • Espaces homogènes
  • Commentaires
  • Exercices
• Formes différentielles
  • Algèbre tensorielle
  • Formes différentielles sur un ouvert de l'espace euclidien
  • Différentielle des formes
  • Produit intérieur, dérivée de Lie
  • Le lemme de Poincaré
  • Formes différentielles sur les variétés
  • Equations de Maxwell
  • Commentaires
  • Exercices
• Intégration et applications
  • Orientation : des espaces vectoriels aux variétés
  • Intégration sur une variété; application aux champs de vecteurs sur les sphères
  • Théorème de Stokes
  • Forme volume canonique d'une sous-variété de l'espace euclidien
  • Le théorème du point fixe de Brouwer
  • Commentaires
  • Exercices
• Cohomologie et théorie du degré
  • Cohomologie de de Rham
  • Cohomologie en degré maximum
  • Degré d'une application
  • Retour sur le théorème de d'Alembert
  • Enlacement de deux courbes de l'espace euclidien de dimension trois
  • Invariance par homotopie
  • Suite exacte de Mayer-Vietoris
  • Méthodes intégrales
  • Commentaires
  • Exercices
• Solutions d'exercices et indications