Comme les deux précédents, ce volume regroupe douze "leçons" données à l'université de Bordeaux par des experts de renommée internationale. Rappelons que le but de la série est de constituer un panorama largement accessible des mathématiques contemporaines. Ce volume met l'accent sur les mathématiques appliquées et les probabilités (Perthame, Rauch, El Karoui, Yor, Werner), la combinatoire (Viennot), la géométrie (Teissier, Cerveau) et la géométrie algébrique (Morel, Berthelot, Kahn, Lafforgue).

Les deux derniers lauréats français de la médaille Fields, Laurent Lafforgue (2002) et Wendelin Werner (2006), ont contribué à ce volume.

• Le théorème de Pythagore, l'analyse multifractale et le mouvement brownien
• L'intégrale de chemins de Feynman : d'une vue intuitive à un cadre rigoureux
• Nombres d'Euler, de Bernoulli et de Springer pour les groupes de Coxeter et les espaces de morsification : le calcul des serpents
• Quelques conséquences surprenantes de la cohomologie de SL²(Z)
• Tourbillons de Ginzburg-Landau, énergie renormalisée et effets de quantification
• Monodromie, phase stationnaire et polynôme de Bernstein-Sato
• Courbes elliptiques
• Approximation par ondelettes et approximation non-linéaire
• Et les séries de Fourier devinrent Analyse harmonique
• Réseaux éléctriques planaires
• Caustiques aspects géométriques et ondulatoires
• Problèmes mathématiques de la mécanique des fluides compressibles
• De l'irrationalité à l'indécidabilité
• La théorie de la démonstration, du programme de Hilbert à la logique linéaire
• Qu'est-ce qu'un entier normal ?
• La cryptologie est-elle soluble dans les mathématiques
• Fonctions modulaires et transcendance
• Ensemble uniformément rectifiables
• Observation à hautes et basses fréquences, contrôlabilité, décroissance locale de l'énergie et mesures de défaut
• Topologie et formes différentielles
• Nombre p-adiques, représentations galoisiennes et applications arithmétiques
• Géométrie et équations diophantiennes
• Courbes algébriques et groupe fondamental
• Marches aléatoires renforcées