Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix.

Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires.

Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l'unique science à ne pas utiliser d'instruments.

Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.

• Une origine ancienne
  • De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques
  • Deux mille ans de calcul
• L'âge classique
  • La logique des prédicats
  • Du problème de la décision au théorème de Church
  • La thèse de Church
  • Une tentative de donner sa place au calcul en mathématiques : le lambda-calcul
  • La constructivité
  • Les démonstrations constructives et les algorithmes
• La crise de la méthode axiomatique
  • La théorie intuitionniste des types
  • La démonstration automatique
  • La vérification des démonstrations
  • Des nouvelles du terrain
  • Les instruments
  • En finir avec les axiomes ?
  • Au terme de ce périple...