Mathématiques 2e cycle - Cours et exercices corrigés

Ce petit livre traite de quelques aspects des fondements des mathématiques. Il reprend un cours semestriel de maîtrise de mathématiques, enseigné à l'Université de Caen.

En évitant volontairement de soulever des difficultés a priori (par exemple sur ce qu'on appelle " une proposition " ou " un ensemble "), il présente une discussion approfondie des grands postulats non constructifs des mathématiques (principe du tiers exclu et axiome du choix). Il développe ensuite la théorie élémentaire des ensembles, des ensembles ordonnés et des catégories, en mettant l'accent sur les aspects de ces théories qui ne deviennent féconds qu'en l'absence de ces postulats.

L'information précise ici rassemblée sur les mathématiques constructives est difficile d'accès et en grande partie inédite en langue française : pour cette raison, ce livre d'abord conçu comme un manuel devrait aussi intéresser un large public concerné par la philosophie des mathématiques. Les aspects historiques y bénéficient d'une place importante et d'une information mise à jour.

Découpé en trente brèves leçons, le cours est accompagné d'exercices corrigés.

Au sommaire

• Principe du tiers exclu
• Logique intuitionniste
• Ensembles
• Entiers naturels
• Axiome du choix
• Equipotence, subpotence
• Polynômes d'ensembles
• Théorème de Cantor
• Théorème de Cantor-Bernstein
• Simplification cardinale
• Finitude
• Réflexivité
• Dénombrabilité
• Ensembles bien ordonnés
• Comparaison des ensembles bien ordonnés
• Construction de Kruse
• Ordinaux
• Construction de Hartogs
• Théorème de Specker
• Hypothèse généralisée du continu
• Théorèmes de Zermelo et de König
• Graphes réflexifs
• Limites projectives
• Limites inductives
• Interversion de limites
• Ensembles ordonnés complets
• Catégories
• Catégories complètes
• Diagrammes initiaux
• Points fixes de fondeurs

• Bibliographie
• Index des notions
• Index des noms