Nombres et algèbre est un ouvrage de base en algèbre qui permet, en utilisant le fil conducteur des nombres, d'acquérir une culture générale sur les mathématiques. L'unité de cette science est illustrée par des allers et retours entre analyse et algèbre, des indications historiques, des exemples d'utilisation dans d'autres sciences et des résultats rarement présentés dans des ouvrages au public relativement large.

L'ouvrage introduit les notions de base d'algèbre et en parallèle sont étudiés les ensembles de nombres (N, Z, Q, R, C, H, O, Q_p et F_p). Résultats et concepts plus abstraits s'enrichissent mutuellement.

On trouve ainsi les constructions des ensembles de nombres, les résultats sur les groupes, sur les anneaux et leurs idéaux, les corps, les modules et quelques rudiments d'algèbre commutative. Le théorème de Bézout et la méthode du pivot de Gauss sont des outils puissants qui reviennent en permanence.

Au-delà de ces énoncés classiques, on trouve aussi les fractions continues, les fonctions zêta, des sommes de carrés, des présentations de nombres p-adiques, des applications des résultants de Sylvester, des apparitions de la fibration de Hopf et une introduction de la transformée des groupes finis commutatifs et de la transformée de Fourier rapide. Au passage sont introduits et commentés des résultats de géométrie ou d'analyse, ce qui permet au lecteur d'apprécier l'unité de la mathématique et de prendre un certain recul.

"Nombres et algèbre" s'adresse aux titulaires de licence, aux étudiants de master et de préparation à l'agrégation de mathématiques, ainsi qu'aux universitaires et professeurs de classes préparatoires.

• Introduction
• Divisibilité, monoïdes et groupes
• Fonctions, anneaux et modules
• Compter
• Les anneaux commutatifs
• Evaluation, zéros et graduation
• Modules, diviseurs élémentaires et Cayley-Hamilton
• Corps et torsion
• Actions des groupes symétriques
• Extensions de corps et d'anneaux
• Espaces projectifs et formes quadratiques
• Topologie des réels et des corps locaux
• Nombres complexes
• Les groupes, à nouveau
• Les quaternions
• Les entiers, l'addition et la multiplication
• Annexe : espaces métriques
• Bibliographie
• Index
• Table des matières