Boris Makarov et ses collègues ont la chance de bénéficier à l'université de Saint-Pétersbourg à la fois d'étudiants en mathématiques d'excellent niveau et d'une grande liberté dans le choix de leurs sujets. Cela se reflète dans cet ouvrage issu de leur enseignement. Des questions très classiques de l'analyse y sont abordées sous un angle original, et des thèmes à peine effleurés dans la littérature courante y sont longuement développés.

Une attention particulière est ainsi portée à des chapitres de l'analyse et de la théorie des fonctions d'une variable réelle peu étudiés, en France comme en Russie, mais essentiels dans les applications : comportement asymptotique et méthode de Laplace, fonctions convexes, séries trigonométriques. Des domaines importants de l'analyse moderne sont également explorés : mesures de Hausdorff, inégalité de Khintchine, fonctions presque périodiques, théorie élémentaire des systèmes dynamiques, théorie ergodique.

Si les étudiants de L2 et de classes préparatoires peuvent tirer profit des sept premiers chapitres de cet ouvrage, les trois derniers demandent une plus grande maturité mathématique. Les candidats à l'agrégation y trouveront de nombreux exemples pour illustrer leurs leçons et des problèmes pour préparer les écrits.

L'ouvrage comporte plus de mille problèmes. Pratiquement tous sont accompagnés de solutions ou d'indications.

• Problèmes
  • Problèmes introductifs
  • Suites
  • Fonctions
  • Séries
  • Intégrales
  • Développements asymptotiques
  • Fonctions (suite)
  • Mesure de Lebesgue et intégrale de Lebesgue
  • Suites de fonctions mesurables
  • Itérations de transformations d'un intervalle
• Indications et solutions
• Réponses