Éléments d'analyse et d'algèbre

(et de théorie des nombres)

Pierre Colmez - Collection Mathématiques

657 pages, parution le 15/11/2011

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Résumé

Cet ouvrage est issu d'un cours en première année à l'École Polytechnique.

Son format un peu particulier en fait un bon compagnon pour la préparation des concours du taupin ambitieux et de l'agrégatif, ou pour l'étudiant de L3 ou quiconque ayant atteint ce niveau et cherchant à saisir le fonctionnement interne des mathématiques. Le long chapitre "Vocabulaire Mathématique", dont le but était d'offrir aux élèves des autres filières le résumé d'un cours des meilleures classes de MP*, regroupe et précise, sous une forme compacte, l'essentiel des notions de base vues en L1 et L2 ou pendant les classes préparatoires (groupes, anneaux, corps, algèbre linéaire, matrices, topologie, compacité, connexité, complétude, séries numériques, convergence de fonctions, espaces hermitiens).

Il comporte plus d'une centaine d'exercices corrigés. Le cours qui suit offre une introduction à trois des théories à la racine des mathématiques : la théorie des représentations des groupes finis, qui est à la fois une extension naturelle de l'algèbre linéaire et une première approche de la transformée de Fourier, l'analyse fonctionnelle classique (espaces de Banach et Hilbert, intégrale de Lebesgue, transformée de Fourier) et la théorie des fonctions holomorphes. Il recouvre une bonne partie du cursus de L3 à l'Université.

Les 13 problèmes corrigés combinent les théorèmes du cours pour démontrer de jolis résultats comme l'irrationalité de Sigma (3). La principale originalité de l'ouvrage vient de l'accent mis sur l'aspect culturel et l'unité des mathématiques. De nombreuses notes de bas de page proposent de petites excursions en dehors de l'autoroute des mathématiques utiles. Sept appendices présentent des extraits de la littérature mathématique classique, accessibles avec le contenu du cours, qui montrent comment les théories de base se combinent pour la résolution de problèmes naturels profonds.

L'un d'entre eux est consacré au théorème des nombres premiers dont la démonstration a pris plus de 150 ans ; un autre est une introduction au programme de Langlands, qui occupe les arithméticiens depuis plus de 40 ans, et dont une des retombées les plus spectaculaires est la démonstration du théorème de Fermat. Entre les deux le lecteur pourra découvrir quelques aspects du monde p-adique ou une formule indiquant des liens encore mystérieux entre les mondes réels et p-adiques, ou encore un problème millénaire non encore résolu.

L'avis du libraire Eyrolles

Un cours complet de deux années de classe préparatoire, qui est complété par un chapitre sur le vocabulaire mathématique et des exercices corrigés. Un lecteur curieux y trouvera de quoi satisfaire l'envie de connaître d'autres mondes mathématiques...

Sommaire

Vocabulaire mathématique
Représentations des groupes finis
Espaces de Banach
Intégration
Transformée de Fourier
Fonctions holomorphes
La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy)
Séries de Dirichlet
Le théorème des nombres premiers
Volume de SL_n(R) / SL_n(Z)
Groupes finis et représentations : exemples
Fonctions d'une variable p-adique
Irrationalité d'une infinité de dzeta(2n + 1)
Introduction au programme de Langlands
Problèmes corrigés

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Les éditions de l'Ecole polytechnique
Auteur(s)	Pierre Colmez
Collection	Mathématiques
Parution	15/11/2011
Nb. de pages	657
Format	17 x 24
Couverture	Broché
Poids	1170g
Intérieur	Noir et Blanc
EAN13	9782730215879
ISBN13	978-2-7302-1587-9