Équations différentielles ordinaires pour les classes préparatoires mpsi

Léonard Todjihounde

92 pages, parution le 01/03/2022

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Résumé

Les équations différentielles représentent un objet d'étude de toute première importance en sciences mathématiques et ses diverses applications. Elles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques décrivant des phénomènes naturels, des processus d'évolution physiques et biologiques tels que la radioactivité, la mécanique, la dynamique des populations, les systèmes dynamiques en général, etc.
Les objectifs principaux de la théorie des équations ordinaires sont la résolution explicite complète quand elle est possible, la résolution approchée par des procédés d'analyse numérique, ou encore l'étude qualitative et l'interprétation des solutions.

Table des matières

1 Généralités - Théorèmes Généraux
1.1 Rappels: Applications lipschitziennes
1.2 Définitions et éxistence de solutions
1.3 Régularité des solutions
1.4 Intégrales premières
1.5 Équations différentielles linéaires
1.6 Résolvante d'une équation différentielle linéaire

2 Équations différentielles particulières
2.1 Théorème de Poincaré et applications
2.2 Équations différentielles à variables séparables
2.3 Équations homogènes
2.4 Équations différentielles linéaires d'ordre 1 unidimensionnelles
2.5 Équations de Bernoulli
2.6 Équations de Riccati
2.7 Équations de Clairaut
2.8 Équations de Lagrange

3 Les systèmes autonomes
3.1 Généralités
3.2 Orbites des équations différentielles
3.3 Stabilité par linéarisation
3.4 Stabilité par fonction de Lyapounov

4 Modélisations et applications
4.1 Modèles de population
4.2 Modèles Proies-prédateurs
4.3 La radioactivité du C14
4.4 Mécanique du point
4.5 Circuits électriques
4.6 Réactions chimiques

5 Série d'exercices