Galois inverse avec polynômes : arithmétique modulaire et nombres premiers

Bernard Sourd

220 pages, parution le 11/01/2023

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Résumé

L'ouvrage utilise deux thèmes : la théorie de Galois et l'arithmétique modulaire. Pour qu'un lecteur non suffisamment familiarisé avec ceux-ci puisse aborder les sujets traités sans difficultés majeures, les bases sont présentées de façon approfondie avec exercices et problèmes. Le problème dit de Galois inverse est alors présenté. Il utilise des polynômes dit de Galois formant pour la composition le groupe de Galois. Une approche constructive est proposée ; elle ramène l'étude à la résolution d'un système polynomial à l'aide de fonctions symétriques fondamentales. Dans une deuxième partie est introduite l'extension algébrique du crible d'Ératosthène. Les nombres premiers y jouent un rôle capital et diverses propriétés ainsi que des algorithmes sont présentés. En particulier on a mis en évidence un algorithme qui conduit au calcul de pi(x) nombre de nombres premiers jusqu'à x, avec seulement la connaissance des nombres premiers jusqu'à x^{2/3}. L'arithmétique modulaire permet aussi de construire deux systèmes symétriques homomorphes. Des solutions des exercices et problèmes proposés terminent l'ouvrage. L'auteur : Ancien élève de l'ENS Cachan, Bernard SOURD a enseigné en CPGE. Il est agrégé de Mathématiques et professeur de Chaire Supérieure.