Les fondements de la géométrie

Le grand public connaît de Helmholtz la figure du physicien et du physiologiste. Il ignore trop celle du philosophe et du mathématicien. Son influence sur la pensée mathématique et les fondements de la géométrie a pourtant été considérable. Les deux mémoires « sur les fondements factuels de la géométrie » et « sur le sens et la signification des axiomes géométriques » dont nous assurons la réédition et la traduction en sont l'illustration. Ces deux mémoires, parus respectivement en 1868 et en 1870, marquent en effet une avancée décisive dans l'histoire de la pensée. Pour la première fois sans doute depuis Kant s'y trouve posée à nouveau frais la question de la nature de l'espace et du fondement de la géométrie.
Dans un style limpide, Helmholtz y démontre la cohérence de la géométrie moderne et la puissance de la capacité imaginative de l'homme. Mieux, il y démontre que la détermination de la géométrie de l'espace physique ne peut se faire sans l'adjonction à la géométrie d'une partie de la mécanique. On voit dès lors combien la réflexion engagée par Helmholtz porte loin. Non seulement elle permet de retrouver les conclusions de Riemann en les abordant d'un point de vue plus synthétique, mais elle permet du même coup d'invalider tout un pan de tradition qui, à la suite de Kant, s'était évertué, des décennies durant, de s'imposer comme le seul discours autorisé sur la géométrie. Par là même, l'œuvre de Helmholtz sur les fondements de la géométrie s'impose comme véritablement fondatrice. Elle ouvre en effet la voie à une présentation sui generis des concepts géométriques, présentation dans laquelle la géométrie est affranchie des chaînes de l'intuition pure et des formes transcendantales de la sensibilité et où, dans le même temps, la question de la nature de l'espace physique peut trouver à terme sa solution concrète.