Modélisation des structures par éléments finis -Tome 1

Dans la conception des produits, des pièces mécaniques et des structures, les étapes relatives à l'évaluation des états de contraintes et de déformations, des caractéristiques vibratoires ou encore des possibilités de ruine font largement appel aux simulations basées sur la méthode des éléments finis. Ce livre constitue le premier d'une série de volumes où sont présentées les relations qui caractérisent les solides et les structures de type barres, poutres, plaques et coques, ainsi que les modèles éléments finis permettant d'obtenir des solutions numériques précises.

Dans ce premier volume, les relations sont présentées et exprimées sous formes variationnelles pour les solides élastiques et orthotropes avant d'aborder les différents aspects de la résolution par la méthode des éléments finis : approximations, formulation d'éléments de type déplacements et de type mixtes, résolution des systèmes d'équations linéaires en statique et dynamique, évaluation et précision des modèles, présentation détaillée d'un logiciel simple d'apprentissage et de développement, écrit en FORTRAN.

Modélisation des structures par éléments finis est destiné à la formation des étudiants en mécanique des solides et des structures et aux chercheurs et ingénieurs qui utilisent et développent des logiciels d'éléments finis.

SOMMAIRE

• Introduction
  • I.1. Solides et structures minces
    • I.1.1. Aspects géométriques
    • I.1.2. Aspects cinématiques
    • I.1.3. Aspects mécaniques
    • I.1.4. Remarques
  • I.2. Discrétisation par éléments finis
  • I.3. Aspects bibliographiques
  • I.4. Remarques sur la présentation
  • I.5. Contenu du premier volume "Solides élastiques"
    • I.5.1. Chapitre 1 : mécanique des solides élastiques
    • I.5.2. Chapitre 2: méthode des éléments finis
    • I.5.3. Annexe A :Logiciel RE-FLEX
• Chapitre 1. Principes variationnels en mécanique des solides élastiques
  • 1.0. Introduction - objectifs
  • 1.1. Description d'une configuration
    • 1.1.1. Caractéristiques générales
    • 1.1.2. Vecteur position et repères cartésiens
    • 1.1.3. Coordonnées paramétriques
  • 1.2. Contraintes et équations d'équilibre
    • 1.2.1. Contraintes de Cauchy
    • 1.2.2. Equations d'équilibre
    • 1.2.3. Transformation des contraintes et valeurs principales
    • 1.2.4. Plans et cercles de Mohr
    • 1.2.5. Détermination des contraintes principales
  • 1.3. Principe des travaux virtuels (ou des déplacements virtuels)
    • 1.3.1. Mouvement et de formations virtuelles
      • 1.3.1.1. Description cartésienne
      • 1.3.1.2. Description paramétrique
    • 1.3.2. Expressions du P.T.V.
  • 1.4. Théorie linéaire classique de l'élasticité
    • 1.4.1. Déformations linéaires
      • 1.4.1.1. Coordonnées cartésiennes
      • 1.4.1.2. Transformation des déformations
      • 1.4.1.3. Coordonnées paramétriques
      • 1.4.1.4. Problèmes bidimensionnels
    • 1.4.2. Loi de comportement
      • 1.4.2.1. Loi de Hooke générale
      • 1.4.2.2. Contraintes initiales et dilatations thermiques
      • 1.4.2.3. Déformations planes
      • 1.4.2.4. Contraintes planes
    • 1.4.3. Bilan des équations d'un problème linéaire d'élasticité
  • 1.5. Energie potentielle totale
    • 1.5.1. Cas tridimensionnel (coordonnées cartésiennes)
    • 1.5.2. Expressions particulières de II
      • 1.5.2.1. Coordonnées cylindriques
      • 1.5.2.2. Problèmes axisymétriques
      • 1.5.2.3. Représentation en séries de Fourier pour les solides de révolution
      • 1.5.2.4. Problèmes plans
      • 1.5.2.5. Problèmes unidimensionnels
  • 1.6. Principes variationnels mixtes
    • 1.6.1. Principe variationnel général
    • 1.6.2. Principes mixtes (type Hellinger-Reissner)
    • 1.6.3. Energie potentielle complémentaire
    • 1.6.4. Bilan des principes variationnels pour un problème d'élasticité
  • 1.7. Résumé des principaux résultats
• Chapitre 2. Discrétisation par éléments Finis
  • 2.0. Introduction - Objectifs
  • 2.1. Aspects généraux de la méthode des éléments finis
    • 2.1.1. Description générale
    • 2.1.2. Démarche éléments finis
  • 2.2. Représentation de la géométrie
    • 2.2.1. Forme variationnelle par sous-domaines
    • 2.2.2. Eléments réels et éléments de référence
      • 2.2.2.1. Représentation paramétrique
      • 2.2.2.2. Eléments de référence à une dimension
      • 2.2.2.3. Eléments de référence à deux dimensions
      • 2.2.2.4. Eléments de référence à trois dimensions
    • 2.2.3. Tables de représentation géométrique des éléments
  • 2.3. Discrétisation de la forme variationnelle
    • 2.3.1. Représentation de la fonction solution
    • 2.3.2. Expression matricielle de We
      • 2.3.2.1. Matrices et vecteurs élémentaires
      • 2.3.2.2. Matrice [B] pour l'élasticité tridimensionnelle
      • 2.3.2.3. Evaluation numérique des matrices et vecteurs élémentaires
    • 2.3.3. Admissibilité de l'approximation (critères de convergence)
  • 2.4. Assemblage et résolution
    • 2.4.1. Assemblage
    • 2.4.2. Conditions aux limites
      • 2.4.2.1. Condition sur la variable ui
      • 2.4.2.2. Condition impliquant plusieurs variables
    • 2.4.3. Résolution des systèmes linéaires
      • 2.4.3.1. Méthode directe:présentation générale
      • 2.4.3.2. Algorithme de résolution par la méthode de Gauss
      • 2.4.3.3. Algorithme de résolution par décompositions successives
    • 2.4.4. Résolution des problèmes de valeurs propres
      • 2.4.4.1. Quelques propriétés
      • 2.4.4.2. Méthode d'itération inverse
    • 2.4.5. Résolution des systèmes non stationnaires
      • 2.4.5.1. Schéma de différences finies centrales(explicite)
      • 2.4.5.2. Schéma de Newmark classique (implicite)
  • 2.5. Programme d'éléments finis
    • 2.5.1. Module DATA (donnees)
    • 2.5.2. Module CALC
    • 2.5.3. Module VISU
    • 2.5.4. Logiciel RE-FLEX
  • 2.6. Eléments finis pour les problèmes d'élasticité
    • 2.6.1. Aspects généraux
    • 2.6.2. Eléments à une dimension
      • 2.6.2.1. Elément de barre linéaire
      • 2.6.2.2. Elément de barre type Hermite (élément subparamétrique)
      • 2.6.2.3. Elément axisymétrique unidimensionnel à deux noeuds
    • 2.6.3. Eléments à deux dimensions en coordonnées cartésiennes
      • 2.6.3.1. Elément triangulaire a trois noeuds (T3)
      • 2.6.3.2. Elément isoparamétrique triangulaire a six noeuds(T6)
      • 2.6.3.3. Autres éléments triangulaires
      • 2.6.3.4. Elément quadrilatéral à quatre noeuds (Q4)
      • 2.6.3.5. Eléments quadrilatéraux à huit et neuf noeuds (Q8, Q9)
      • 2.6.3.6. Autres éléments quadrilatéraux
    • 2.6.4. Eléments axisymétriques (coordonnées cylindriques)
      • 2.6.4.1. Elément triangulaire axisymétrique (T3AX)
      • 2.6.4.2. Elément quadrilatéral axisymétrique (Q4AX)
    • 2.6.5. Eléments tridimensionnels (hexamm, tetramm, prisme)
    • 2.6.6. Eléments mixtes
      • 2.6.6.1. Présentation générale
      • 2.6.6.2. Présentation algébrique
      • 2.6.6.3. Représentation particulière : éléments hybrides
      • 2.6.6.4. Formulation mixte pour les matériaux incompressibles
  • 2.7. Tests de validation et de convergence
    • 2.7.1. Tests avec un seul élément
      • 2.7.1.1. Modes rigides et parasites
      • 2.7.1.2. Modes associes aux déformations constantes
    • 2.7.2. Patch-tests
    • 2.7.3. Tests de précision d'un élément
      • 2.7.3.1. Evaluation des contraintes
      • 2.7.3.2. Présentation de quelques résultats
  • 2.8. Remarques sur l'analyse de problèmes par éléments finis
    • 2.8.1. Présentation des résultats
    • 2.8.2. Vérifications des hypothèses de calcul
    • 2.8.3. A propos des éléments et du maillage
    • 2.8.4. Estimation des erreurs
    • 2.8.5. Amélioration des solutions
    • 2.8.6. Aspects numériques et informatiques particuliers
    • 2.8.7. Développements et tendances actuelles
  • 2.9. Résumé des principaux résultats