33 leçons d'algèbre pour l'agrégation interne de mathématiques. oral 1

Cet ouvrage est destiné aux candidats à l'agrégation interne de mathématiques, en vue de la préparation de la première épreuve orale.
Il rassemble des propositions de plans pour l'intégralité des 33 sujets d'algèbre au programme de la session 2025, accompagnés de démonstrations complètes et de développements détaillés.
Afin d'aiguiller l'agrégatif dans sa préparation, chaque plan est commenté : points essentiels, résultats secondaires, choix de structure du plan, variantes envisageables.
L'objectif est de proposer une ressource de travail claire et complète, enrichie de conseils pratiques pour la préparation du concours, destinée à nourrir la réflexion personnelle de chaque candidat.


Sommaire
Avant-propos
101 - Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples
102 - Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications
103 - Anneaux Z/nZ
104 - Structures quotients, exemples et applications
105 - Nombres premiers. Propriétés et applications
106 - Idéaux d'un anneau commutatif. Exemples
107 - PGCD dans Z et K[X], théorème de Bézout. Algorithme d'Euclide. Applications
108 - Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes
109 - Racines d'un polynôme à une indéterminée. Relations coefficientsracines. Applications
110 - Dimension d'un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d'une famille de vecteurs
111 - Formes linéaires, hyperplans, dualité en dimension finie. Exemples
112 - Déterminants. Applications
113 - Systèmes linéaires. Applications
114 - Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications. Aspects algorithmiques
115 - Diverses factorisations de matrices
116 - Notion de rang en algèbre linéaire et bilinéaire. Applications
117 - Valeurs propres et vecteurs propres. Recherche et utilisation
118 - Réduction d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications
119 - Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Applications
120 - Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien. Applications
121 - Endomorphismes diagonalisables. Exemples et applications
122 - Endomorphismes trigonalisables et nilpotents. Applications
123 - Groupe linéaire GL(E) d'un espace vectoriel de dimension finie E. Sous-groupes. Applications
124 - Barycentres. Applications
125 - Applications affines en dimension finie. Propriétés et exemples
126 - Espaces préhilbertiens réels. Orthogonalité, projection orthogonale. Applications
127 - Réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie
128 - Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
129 - Isométries du plan affine euclidien, décomposition canonique. Applications
130 - Utilisation des nombres complexes en géométrie
131 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications
132 - Utilisation de groupes en géométrie
133 - Grou