Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides

Reproduction en fac-similé de l'édition de Bachelier, Paris, 1852

Gabriel Lamé

670 pages, parution le 30/10/2006

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Résumé

Telles sont les lois qui régissent les forces élastiques, en un même point, d'un milieu solide. Elles sont d'une très grande généralité, car les équations qui les renferment toutes ne supposent ni homogénéité ni approximation d'aucune espèce. Elles sont à l'abri de tout doute sur la nature des actions moléculaires. Leur démonstration est facile, tellement que nous avons pu craindre le reproche de développer ici une analyse par trop élémentaire. Leur énoncé a la forme géométrique, la plus goûtée des ingénieurs. Enfin, elles sont d'une utilité incontestable, et les praticiens trouveraient à chaque instant l'occasion de les utiliser, s'ils les connaissaient. N'y a-t-il pas lieu de s'étonner qu'une théorie si simple, si naturelle et si féconde en applications, n'entre régulièrement dans aucun cours classique ?

La Mécanique rationnelle emploie de même, pour étudier les moments d'inertie, la considération de l'ellipsoïde; mais, on en conviendra, cette surface ne s'y présente pas aussi naturellement que notre ellipsoïde d'élasticité. En outre, ici les deux genres d'hyperboloïdes, et le cône, et l'ellipse, et les hyperboles conjuguées interviennent également. En un mot, les surfaces et les courbes du second ordre, pourvues de centre, viennent remplir dans la théorie de l'élasticité, un rôle aussi important que les sections coniques en Mécanique céleste; elles lui appartiennent aux mêmes titres, elles en traduisent les lois avec autant de clarté, et même plus rigoureusement, car les lois des forces élastiques autour d'un point ne subissent aucune perturbation. Si dans l'avenir, la Mécanique rationnelle, courant plus rapidement sur les problèmes, aujourd'hui complètement résolus, du monde planétaire, se transforme pour s'occuper avec plus d'étendue de physique terrestre, la théorie que nous avons exposée dans cette leçon formera l'un de ses premiers chapitres, et des plus importants, comme la suite du Cours le démontrera.

L'auteur - Gabriel Lamé

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Sommaire

Définition de l'élasticité - Définition des corps solides homogènes - Origine de la théorie de l'élasticité - Principe de la théorie de l'élasticité - Définition de la force élastique.
De l'équilibre de l'élasticité - Equilibre du parallélipipède élémentaire - Introduction des Ni, T i - Equilibre du tétraèdre élémentaire - Equilibre d'une portion finie du milieu solide.
Projections du déplacement moléculaire - Expression de l'écartement - Valeurs générales de Ni, T i - Extension aux solides cristallisés - Méthode par l'intégration autour d'un point.
Cas simple d'une traction - Cas simple de la torsion - Formules de transformation - Réduction des Ni, T i , dans le cas de l'élasticité constante - Formules particulières des Ni, T i .
Ellipsoïde d'élasticité - Forces élastiques principales - Plans sollicités par les forces élastiques - Cas où l'une des forces élastiqes principales est nulle - Cas où deux des forces élastiques principales sont nulles.
Equations de l'élasticité pour les solides homogènes d'élasticité constante - Cas de l'équilibre d'élasticité - Sur les forces émanant de centres extérieurs - Coefficient d'élasticité - Comparaison des méthodes.
Travail des forces élastiques - Théorème de Clapeyron - Travail d'une traction - Travail d'une compression - Puissance d'un ressort - Application aux constructions - Cas d'un assemblage triangulaire - Rapprochements et généralisations.
Lignes et surfaces élastiques - Équilibre d'un fil élastique - Dilatation du fil - Corde vibrante - Vibrations transversales - Sons simultanés - Vibrations longitudinales.
Equilibre de la surface élastique - Equilibre d'une membrane plane - Membrane vibrante - Méthode d'intégration - Application - Caractère exceptionnel des fils et des membranes.
Membrane rectangulaire - Classement des sons de la membrane carrée - Nombre de termes donnant le même son - Lignes nodales de la membrane carrée - Classement des sons de la membrane rectangulaire - Membrane triangulaire équilatérale.
Vitesses de propagation des actions élastiques - Vitesse de propagation des ondes planes - Equations des petits mouvements - Vibrations avec dilatations et contractions - Vibrations sans changement de densité - Classement des états vibratoires - Conditions relatives aux surfaces.
Intégrales des équations de l'élasticité en coordonnées rectilignes - Problème général de l'équilibre du prisme rectangle - Solution quand on connaît la loi de la dilatation - Cas d'efforts normaux et constants sur chaque face du prisme.
Etats vibratoires du prisme rectangle -Vibrations longitudinales - Vibrations transversales - Vibrations tournantes - Vibrations composées - Etats vibratoires de la première classe - Etats vibratoires de la seconde classe - Généralisations.
Equations de l'élasticité en coordonnées semi-polaires - Formules relatives aux cylindres homogènes d'élasticité constante - Equilibre de torsion d'un cylindre - Equilibre d'élasticité d'une enveloppe cylindrique - Vibrations longitudinales d'une tige cylindrique - Vibrations tournantes et silencieuses.
Equations de l'élasticité en coordonnées polaires ou sphériques - Formules relatives aux sphères homogènes d'élasticité constante - Enveloppe sphérique vibrante - Vibrations des timbres hémisphériques.
Equilibre d'élasticité d'une enveloppe sphérique - Equilibre d'élasticité d'une croûte planétaire - Application au globe terrestre - Surfaces isostatiques.
Application de la théorie de l'élasticité à la double réfraction - Conditions de la biréfringence - Equations qui régissent les vibrations lumineuses - Equation aux vitesses des ondes planes - Formules et notations.
Directions des vibrations - Equation de la surface des ondes - Points conjugués de la surface des ondes - Relations symétriques entre les points conjugués.
Sections principales - Axes optiques - Cercles de contact et ombilics - Courbes sphériques et courbes ellipsoïdales - Cônes orthogonaux - Variétés de la surface des ondes.
Ondes circulaires - Ondes linéaires composées - Ondes sphériques - Construction d'Huyghens - Théorie de la double réfraction de Fresnel.
Généralisation de la construction d'Huyghens - Faisceau conique réfracté - Faisceau conique émergent - Rayons réfractés pour une incidence donnée - Cas de l'incidence normale - Forces élastiques développées lors des vibrations lumineuses.
Ondes progressives - Conditions de possibilité - Equation au paramètre des ondes - Vérification - Perpendicularité de la vibration.
Résumé des conditions de possibilité - Détermination des projections de l'amplitude - Valeur de l'amplitude - Directions des vibrations - Lois de l'amplitude.
Mouvement à la surface des ondes - Mouvement général des ondes progressives - Nécessité d'admettre l'éther - Possibilité d'un seul centre d'ébranlement - Conclusion - Différence avec la théorie de Fresnel - Perturbations - Sur la constitution intérieure des corps solides.

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Jacques Gabay
Auteur(s)	Gabriel Lamé
Parution	30/10/2006
Nb. de pages	670
Format	16 x 24
Couverture	Broché
Poids	670g
Intérieur	Noir et Blanc
EAN13	9782876472617
ISBN13	978-2-87647-261-7