Calcul différentiel et équations différentielles - 2e cycle
Sciences Sup
Dominique Azé, Guillaume Constans, Jean-Baptiste Hiriart-Urruty - Collection Sciences sup
Résumé
Le calcul différentiel est né au XVIIe siècle de la nécessité de résoudre des problèmes d'optimisation. Il fait l'objet de modules d'enseignement spécifiques dès la licence de mathématiques. Cet ouvrage propose une quarantaine d'exercices et de problèmes corrigés de calcul différentiel, issus pour la plupart de sujets d'examens donnés en licence par les auteurs à l'université Paul-Sabatier et à l'université de Perpignan.
40 sujets abordant tous les thèmes du programme : lemme de Poincaré, convexité et différentiabilité, calcul différentiel sur des fonctions à valeurs matricielles, opérateurs de Nemycki, théorème des accroissements finis, formule de Taylor sur la fonction déterminant, méthode de descente le long du gradient, théorème de Cauchy-lipschitz, équations différentielles...
Au sommaire
- Sujet 1 : Calcul différentiel sur des espaces de matrices. Transformation de Legendre-Fenchel
- Sujet 2 : Caractérisation d'un opérateur gradient (lemme de Poincaré)
- Sujet 3 : Convexité et différentiabilité
- Sujet 4 : Un théorème de Rolle approché. Différentiation d'applications radiales. Un système différentiel linéaire
- Sujet 5 : Différentielle d'une fonctionnelle intégrale. Calcul différentiel sur des fonctions à valeurs matricielles
- Sujet 6 : Opérateurs de Nemycki
- Sujet 7 : Différentiabilité (et caractère C¹) via les différentielles partielles. Calcul différentiel (basique, théorème des accroissements finis)
- Sujet 8 : Dérivée de t-> exp((l - t)A) exp(t B). Formules de Taylor sur la fonction déterminant. Conditions d'extrémalité du deuxième ordre sur un espace de Hilbert
- Sujet 9 : Conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre en l'absence de différentiabilité
- Sujet 10 : Méthode de descente le long du gradient
- Sujet 11 : Conditions nécessaires d'optimalité en présence de contraintes d'inégalité
- Sujet 12 : Différentielle de Gâteaux. Multiplicateurs de Lagrange
- Sujet 13 : Minimisation d'une fonction convexe sous une contrainte d'inégalité convexe
- Sujet 14 : Minimisation d'une fonction convexe sur un polyèdre convexe de Rn
- Sujet 15 : Détermination et nature des points critiques d'une fonction. Différentiation de l'application exponentielle
- Sujet 16: Calcul différentiel d'ordre supérieur. Différentielle d'ordre 2 d'une application composée
- Sujet 17 : Résolution d'équations par la méthode de Newton I
- Sujet 18 : Résolution de l'équation f(x) = 0 par la méthode de Newton II. Minimisation d'une fonction convexe par la méthode du gradient
- Sujet 19 : Un théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs vectorielles. Un problème de maximisation. Sensibilité des racines simples d'un polynôme
- Sujet 20 : Conditions d'optimalité exprimées à l'aide du cône tangent à l'ensemble des contraintes. Applications à un problème variationnel
- Sujet 21 : Problème variationnel de minimisation d'une fonctionnelle du calcul des variations
- Sujet 22 : Calcul différentiel d'ordre 2 sur un espace de matrices. Surjectivité de la normale unitaire à une hypersurface compacte de Rn;. Ensemble des solutions possibles d'une équation différentielle scalaire linéaire d'ordre n
- Sujet 23 : Descente continue le long du gradient. Projection sur une surface de R³
- Sujet 24 : Une surface conique de R³. Monotonie des solutions d'équations différentielles scalaires autonomes. Une équation différentielle vectorielle linéaire
- Sujet 25 : Un problème aux limites par le théorème des fonctions implicites. Équations différentielles linéaires à coefficients périodiques
- Sujet 26 : Du théorème des fonctions implicites au théorème de Cauchy-Lipschitz
- Sujet 27 : Intégrales premières. Utilisation du théorème des fonctions implicites. Une équation aux dérivées partielles
- Sujet 28 : Différentiabilité de la fonction distance à un ensemble. Une équation différentielle scalaire non linéaire du deuxième ordre. Système différentiel linéaire où les valeurs propres de^(t) ne dépendent pas de t
- Sujet 29 : Équations différentielles scalaires. Équation différentielle vectorielle linéaire à coefficients périodiques
- Sujet 30 : Distance de l'origine à une courbe de R³. Comportement asymptotique des solutions d'une équation différentielle scalaire
- Sujet31 : Équation différentielle y' = xy². Comportement asymptotique des solutions d'une équation différentielle linéaire vectorielle
- Sujet 32 : Formule de thermodynamique sur les dérivées partielles. Équation différentielle x' = t sinx. Équation différentielle linéaire à coefficients périodiques
- Sujet 33 : Équations différentielles non linéaires. Comportement asymptotique des solutions d'une équation différentielle linéaire sous la condition de Liapounov
- Sujet 34 : Une équation différentielle scalaire autonome. Calcul de la hauteur d'une courbe. Différentiation de la fonction déterminant
- Sujet 35 : Équations différentielles avec retard
- Sujet 36 : Méthodes d'approximation de solutions d'équations différentielles
L'auteur - Dominique Azé
D. Azé et J.-B. Hiriart-Urruty sont Professeurs de mathématiques à l'université Paul Sabatier de Toulouse. Ils ont une solide expérience dans la formation des jeunes, tout d'abord dans les classes du secondaire, puis à tous les niveaux de l'université (de la première année de Licence jusqu'à la préparation du Doctorat).
Autres livres de Dominique Azé
L'auteur - Guillaume Constans
Autres livres de Guillaume Constans
L'auteur - Jean-Baptiste Hiriart-Urruty
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty est Professeur à l'université Paul Sabatier de Toulouse. Ses domaines d'intérêt en recherche mathématique sont l'analyse variationnelle (convexe, non lisse, appliquée) et l'optimisation (non convexe, globale).
Autres livres de Jean-Baptiste Hiriart-Urruty
Caractéristiques techniques
| PAPIER | |
| Éditeur(s) | Dunod |
| Auteur(s) | Dominique Azé, Guillaume Constans, Jean-Baptiste Hiriart-Urruty |
| Collection | Sciences sup |
| Parution | 06/11/2002 |
| Nb. de pages | 236 |
| Format | 17 x 24 |
| Couverture | Broché |
| Poids | 410g |
| Intérieur | Noir et Blanc |
| EAN13 | 9782100067725 |
| ISBN13 | 978-2-10-006772-5 |
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